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Allsatz

Als Allsatz bezeichnet man eine Aussage, welche für alle bezeichneten Objekte gültig ist.

Zum Beispiel:

Alle Menschen sind sterblich.

Allsätze können positiv (wie im Beispiel oben) oder negativ formuliert werden. Hier dieselbe Aussage als negativer Allsatz:

Kein Mensch lebt ewig.

Andere Namen

  • Allaussage
  • Universalaussage
  • (Universelle) Generalisierung

Beschreibung

Ein positiver Allsatz ist eine Aussage, die für alle Elemente der Gesamtmenge wahr ist.

Alle X sind Y.

Oder als Formel ausgedrückt:

∀ 𝑥 ∈ 𝕏 : Y
(Für alle x in der Menge 𝕏 gilt Y)

Negativer Allsatz

In einem negativen Allsatz wird eine Eigenschaft beschrieben werden, die für keines der Elemente der Gesamtmenge zutrifft:

Kein X ist Y.

Als Formel ausgedrückt:

∄ 𝑥 ∈ 𝕏 : Y
(Es existiert kein x in der Menge 𝕏, für welches Y gilt)

Hinweis: Es gibt verschiedene andere logische Formulierungen, in denen ein Allsatz negiert wird. Diese sind jedoch keine negativen Allsätze in dem Sinn, wie sie z.B. für Syllogismen verwendet werden:

Zum einen kann ein positiver Allsatz negiert werden, etwa um zu verdeutlichen, dass er nicht wahr ist. Dies kann wie folgt aussehen (die Klammern sind optional und hier nur zur Verdeutlichung angeführt):

¬(∀ 𝑥 ∈ 𝕏 : Y)
(es ist nicht [wahr], dass für alle x in der Menge 𝕏 Y gilt)

Zum anderen ist das folgende ein negativer Existenzsatz:

∃ 𝑥 ∈ 𝕏 : ¬Y
(es existiert [mindestens] ein x in der Menge 𝕏, für welches nicht-Y gilt)

Leere Begriffsmenge

Allaussagen zu leeren Begriffsmengen sind prinzipiell immer wahr. Allerdings haben diese dann keine Aussagekraft. Zum Beispiel:

Alle Einhörner (Fabelwesen) sind unsterblich.

Unter der Voraussetzung, dass es keine „Einhorn“ genannten Fabelwesen gibt, ist die Aussage wahr, da es keine Einhörner gibt, die sterben könnten. Es handelt sich hierbei um eine „leere Wahrheit“.

Umwandlung in einen Existenzsatz

Aus einer Aussage der Art „All A sind B“ scheint sich auf den ersten Blick auch ein Existenzsatz der Form „Einige A sind B“ zu ergeben. Allerdings implizieren Existenzsätze – anders als Allsätze – eine nicht-leere Begriffs­menge. Um eine solche Umwandlung durchführen zu können, muss daher immer zuerst nachgewiesen werden, dass die Aussage sich nicht auf eine leere Begriffsmenge bezieht.

Alle A sind B.
[und es existiert wenigstens ein A]
Dann gilt: Einige A sind B.

Solche Nebenbedingungen findet man z.B. beim Modus Barbari oder Calemos.

Falsifizierung

Um einen Allsatz zu widerlegen, ist es genug, ein einzelnes Gegenbeispiel zu finden. Dies gilt sowohl für positive als auch für negative Allsätze.

Aufgrund der prinzipiell einfacheren Falsifizierbarkeit ist ein Allsatz also aussagekräftiger als ein Existenzsatz – vorausgesetzt natürlich, er wurde noch nicht falsifiziert.

Verifizierung

Zur Verifizierung eines Allsatzes müssen alle Elemente der beschriebenen Menge untersucht werden. Dies ist freilich nur bei relativ kleinen Mengen oder innerhalb von formalen Systemen (z.B. der Mathematik) möglich.

Verteilung

Das Subjekt eines positiven Allsatzes ist verteilt, d.h. es kann durch eine Untermenge der damit beschriebenen Begriffsmengen ersetzt werden. Zum Beispiel:

Alle Katzen sind Säugetiere.

impliziert auch:

Alle Langhaarkatzen sind Säugetiere.
Alle Katzen in der Nachbarschaft sind Säugetiere.
Findus ist ein Säugetier.

Dagegen ist in solchen Aussagen das Prädikat (hier: „Säugetiere“) nicht verteilt: Eine Aussage wie „alle Katzen sind Delfine“ (worin „Delfine“ eine Unterkategorie des Begriffes „Säugetiere“ ist) kann offensichtlich nicht abgeleitet werden.

In negativen Allsätzen sind sowohl Subjekt als auch Prädikat verteilt:

Keine Katze ist ein Hund.

Impliziert auch:

Keine Langhaarkatze ist ein Dackel.
Keine der Katzen in meiner Nachbarschaft ist ein Windhund.
Findus is kein Blindenhund.

Schluss vom Ganzen auf seine Teile

Der Grundsatz „Dictum de omni et nullo“ (Lat.: „Aussage über alles und [über] nichts“) besagt, dass eine Aussage in einem (positivem oder negativem) Allsatz für alle Elemente der beschriebenen Begriffsmenge gültig ist.

Offensichtlich sind Aussagen wie „alle Pferde sind Säugetiere“ auch auf jedes einzelne Pferd über­tragbar, ebenso wie „kein Mensch ist unsterblich“ ebenso für jeden einzelnen Menschen gültig ist ( Verteilung). Allerdings gibt es auch Situationen, in denen diese Übertragung nicht funktioniert.

  • Es gibt Eigen­schaften von Gruppen, die erst durch die Zusammen­setzung der Gruppe oder das Zusammen­spiel der Gruppenmitglieder selbst entstehen: zum Beispiel ist eine Aus­sage wie „alle Pferde dieser Herde sind unter­schiedlich gefärbt“ erst sinnvoll, wenn die Herde mehr als ein Pferd umfasst ( Emergenz­fehler).
  • Eigenschaften eines komplexen Systems lassen sich nicht notwendigerweise in den Be­stand­teilen (erkennbar) wiederfinden ( Mereologischer Fehlschluss).
  • Hat eine Population eine bestimmte statistische Prävalenz, kann diese Eigenschaft nicht einfach auf Mitglieder dieser Population übertragen werden. Zum Beispiel, auch wenn eine Aussage wie „Bayern mögen Weißwurst“ wahr ist, kann man nicht davon ausgehen, dass jeder spezifische Bayer diese Zubereitung mag ( Ökologischer Fehlschluss).

Bezeichner

In der Logik oder Mathematik wird gewöhnlich das Symbol für eine Allaussage benutzt. Dies wird ausgesprochen als „Für alle … gilt”. Zum Beispiel:

∀ 𝑛 ∈ ℕ: 2·𝑛 = 𝑛 + 𝑛
(für alle Elemente 𝑛 der Menge der natürlichem Zahlen gilt: 2·𝑛 ist gleich 𝑛 + 𝑛)

Für negative Allsätze benutzt man stattdessen das Existenzsymbol, entweder in der durchgestrichenen Variante () oder mit einem Negationszeichen (¬∃). In beiden Fällen spricht man es aus als: „es existiert kein…“.

∄ 𝑛 ∈ ℕ: 2·𝑛 < 𝑛
(es existiert kein Element 𝑛 in der Menge der natürlichem Zahlen, für das gilt: 2·𝑛 ist kleiner als 𝑛)

Siehe auch

Weitere Informationen

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