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logik:begriffe:allsatz

Allsatz

Als Allsatz bezeichnet man eine Aussage, welche für alle bezeichneten Objekte gültig ist.

Zum Beispiel:

Alle Menschen sind sterblich.

Allsätze können positiv (wie im Beispiel oben) oder negativ formuliert werden. Hier dieselbe Aussage als negativer Allsatz:

Kein Mensch lebt ewig.

Andere Namen

  • Allaussage
  • Universalaussage
  • (Universelle) Generalisierung

Beschreibung

Ein positiver Allsatz ist eine Aussage, die für alle Elemente der Gesamtmenge wahr ist.

∀ 𝑛 ∈ 𝕄 : X
(Für alle 𝑛 in der Menge 𝕄 gilt X)

Ein negativer Allsatz dagegen ist eine (wahre) Aussage, die eine Eigenschaft beschreibt, welche für kein Element der Gesamtmenge zutrifft.

∄ 𝑛 ∈ 𝕄 : X
(Es existiert kein 𝑛 in der Menge 𝕄, für welches X gilt)

Hinweis: Dies sollte nicht mit einem negativen Existenzsatz verwechselt werden, der wie folgt aussieht:

∃ 𝑛 ∈ 𝕄 : ¬X
(es existiert [mindestens] ein 𝑛 in der Menge 𝕄, für welches nicht-X gilt)

Leere Begriffsmenge

Allaussagen zu leeren Begriffsmengen sind prinzipiell immer wahr. Allerdings haben diese dann keine Aussagekraft. Zum Beispiel:

Alle Einhörner (Fabelwesen) sind unsterblich.

Unter der Voraussetzung, dass es keine „Einhorn“ genannten Fabelwesen gibt, ist die Aussage wahr, da es keine Einhörner gibt, die sterben könnten. Es handelt sich hierbei um eine „leere Wahrheit“.

Umwandlung in einen Existenzsatz

Aus einer Aussage der Art „All A sind B“ scheint sich auf den ersten Blick auch ein Existenzsatz der Form „Einige A sind B“ zu ergeben. Allerdings implizieren Existenzsätze – anders als Allsätze – eine nicht-leere Begriffs­menge. Um eine solche Umwandlung durchführen zu können, muss daher immer zuerst nachgewiesen werden, dass die Aussage sich nicht auf eine leere Begriffsmenge bezieht.

Alle A sind B.
[und es existiert wenigstens ein A]
Dann gilt: Einige A sind B.

Solche Nebenbedingungen findet man z.B. beim Modus Barbari oder Calemos.

Falsifizierung

Um einen Allsatz zu widerlegen, ist es genug, ein einzelnes Gegenbeispiel zu finden. Dies gilt sowohl für positive als auch für negative Allsätze.

Aufgrund der prinzipiell einfacheren Falsifizierbarkeit ist ein Allsatz also aussagekräftiger als ein Existenzsatz – vorausgesetzt natürlich, er wurde noch nicht falsifiziert.

Verifizierung

Zur Verifizierung eines Allsatzes müssen alle Elemente der beschriebenen Menge untersucht werden. Dies ist freilich nur bei relativ kleinen Mengen oder innerhalb von formalen Systemen (z.B. der Mathematik) möglich.

Schluss vom Ganzen auf seine Teile

Der Grundsatz „Dictum de omni et nullo“ (Lat.: „Aussage über alles und [über] keines“) besagt, dass eine Aussage in einem (positivem oder negativem) Allsatz für alle Elemente der beschriebenen Begriffsmenge gültig ist.

Allerdings gibt es Situationen, in denen dies höchstens eingeschränkt möglich ist, insbesondere:

  • Eigenschaften, die sich erst durch das Zusammenwirken von Bestandteilen eines Systems ergeben, sind nicht notwendigerweise in den Bestandteilen (erkennbar) angelegt  Emergenzfehler und Mereologischer Fehlschluss.
  • Statistische Aussagen über eine Population können nicht einfach auf die Individuen dieser Population übertragen werden  Ökologischer Fehlschluss.

Gattungsbeschreibungen

Beschreibungen von Gattungen, die typische Merkmale der Mitglieder beschreiben, sind keine Allsätze, wenn sie keine Merkmale beschreiben, die Teil der Gruppendefinition sind. Siehe hierzu den  Trugschluss der Division.

Bezeichner

In der Logik oder Mathematik wird gewöhnlich das Symbol für eine Allaussage benutzt. Dies wird ausgesprochen als „Für alle … gilt”. Zum Beispiel:

∀ 𝑛 ∈ ℕ: 2·𝑛 = 𝑛 + 𝑛
(für alle Elemente 𝑛 der Menge der natürlichem Zahlen gilt: 2·𝑛 ist gleich 𝑛 + 𝑛)

Für negative Allsätze benutzt man stattdessen das Existenzsymbol, entweder in der durchgestrichenen Variante () oder mit einem Negationszeichen (¬∃). In beiden Fällen spricht man es aus als: „es existiert kein…“.

∄ 𝑛 ∈ ℕ: 2·𝑛 < 𝑛
(es existiert kein Element 𝑛 in der Menge der natürlichem Zahlen, für das gilt: 2·𝑛 ist kleiner als 𝑛)

Siehe auch

Weitere Informationen

 

Ad Hominem Info ist ein Projekt, die häufigsten Irrtümer und Denkfehler zu erklären und zu kate­gori­sieren. Diese Seite erklärt einen Begriff, der zum Verständnis eines anderen Artikels nötig ist.
Für mehr Informationen, siehe die Hauptkategorie  Logik.

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logik/begriffe/allsatz.txt · Zuletzt geändert: 2021/05/06 13:59 von sascha