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logik:begriffe:allsatz

Allsatz

Als Allsatz bezeichnet man eine Aussage, welche für alle bezeichneten Objekte gültig ist.

Zum Beispiel:

Alle Menschen sind sterblich.

Allsätze können positiv (wie im Beispiel oben) oder negativ formuliert werden. Hier dieselbe Aussage als negativer Allsatz:

Kein Mensch lebt ewig.

Andere Namen

  • Allaussage
  • Universalaussage
  • (Universelle) Generalisierung

Beschreibung

Ein positiver Allsatz ist eine Aussage, die für alle Elemente der Gesamtmenge wahr ist.

Für alle A [in der Menge 𝕄] gilt B.

Ein negativer Allsatz dagegen ist eine (wahre) Aussage, die eine Eigenschaft beschreibt, welche für kein Element der Gesamtmenge zutrifft.

Für kein A [in der Menge 𝕄] gilt B.

Prinzipiell lässt sich jeder positive Allsatz in einen negativen umformulieren (und umgekehrt). Die beiden folgenden Aussagen sind also gleichwertig:

Für alle A [in der Menge 𝕄] gilt B.
Für kein A [in der Menge 𝕄] gilt nicht-B.

Die Angabe der Gesamtmenge kann dabei explizit oder implizit erfolgen.

Jeder Allsatz ist auch ein Existenzsatz

Unter der Voraussetzung, dass ein Allsatz sich nicht auf eine leeren Begriffsmenge bezieht, lässt sich aus ihm immer auch ein Existenzsatz ableiten. Dies hat die Form:

Für alle A gilt B.
Für einige A gilt B.

Wenn der erste Satz wahr ist, ist zwingend auch der zweite wahr. Da letzterer aber weniger Aussagekraft hat, als der erste, ist bei dieser Umwandlung wenig gewonnen. Eine solche Ableitung findet man aber z.B. beim Modus Barbari, einem der „klassischen“ Syllogismen.

Falsifizierung

Um einen Allsatz zu widerlegen, ist es genug, ein einzelnes Gegenbeispiel zu finden. Dies gilt sowohl für positive als auch für negative Allsätze.

Aufgrund der prinzipiell einfacheren Falsifizierbarkeit ist ein Allsatz also aussagekräftiger als ein Existenzsatz – vorausgesetzt natürlich, er wurde noch nicht falsifiziert.

Verifizierung

Zur Verifizierung eines Allsatzes müssen alle Elemente der beschriebenen Menge untersucht werden. Dies ist freilich nur bei relativ kleinen Mengen oder innerhalb von formalen Systemen (z.B. der Mathematik) möglich.

Leere Begriffsmenge

Allaussagen zu leeren Begriffsmengen sind prinzipiell immer wahr. Allerdings haben diese dann keine Aussagekraft. Zum Beispiel:

Alle Einhörner (Fabelwesen) sind unsterblich.

Unter der Voaussetzung, dass es keine „Einhorn“ genannten Fabelwesen gibt, ist die Aussage wahr, da es keine Einhörner gibt, die sterben könnten. Es handelt sich hierbei um eine „leere Wahrheit“.

Dictum de omni et nullo

Der Grundsatz „Dictum de omni et nullo“ (Lat.: „Aussage über alles und [über] keines“) besagt, dass eine Aussage in einem (positivem oder negativem) Allsatz für alle Elemente der beschriebenen Begriffsmenge gültig ist.

Gattungsbeschreibungen

Beschreibungen von Gattungen, die typische Merkmale der Mitglieder beschreiben, sind keine Allsätze, wenn sie keine Merkmale beschreiben, die Teil der Gruppendefinition sind. Siehe hierzu den  Trugschluss der Division.

Bezeichner

In der Logik oder Mathematik wird gewöhnlich das Symbol für eine Allaussage benutzt. Dies wird ausgesprochen als „Für alle … gilt”. Zum Beispiel:

∀ 𝑛 ∈ ℕ: 2·𝑛 = 𝑛 + 𝑛
(für alle Elemente 𝑛 der Menge der natürlichem Zahlen gilt: 2·𝑛 ist gleich 𝑛 + 𝑛)

Für negative Allsätze benutzt man stattdessen das Existenzsymbol, entweder in der durchgestrichenen Variante () oder mit einem Negationszeichen (¬∃). In beiden Fällen spricht man es aus als: „es existiert kein…“.

∄ 𝑛 ∈ ℕ: 2·𝑛 < 𝑛
(es existiert kein Element 𝑛 in der Menge der natürlichem Zahlen, für das gilt: 2·𝑛 ist kleiner als 𝑛)

Siehe auch

Weitere Informationen

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logik/begriffe/allsatz.txt · Zuletzt geändert: 2021/02/13 17:04 von Sascha Leib