Bikonditional

Eine zusammengesetzte logische Aussage, welche genau dann wahr ist, wenn beide Seiten denselben Wahrheitswert haben.

Beispiel für eine bikonditionale Aussage:

Eine Zahl ist gerade genau dann, wenn sie ohne Rest durch zwei teilbar ist.

Ein Bikonditional ist wahr wenn beide Teilaussagen identische Wahrheitswerte haben.

Dies ist ein Sonderfall der Subjunktion (die auch „Konditional“ genannt wird): Für jede wahre bikonditionale Aussage A ≡ B gilt, dass sowohl A → B als auch B → A wahr sein müssen.

Es gilt, dass:

A → B	–	wenn A, dann B
∧ B → A	–	und, wenn B, dann A
∴ A ≡ B	–	Daraus folgt: B genau dann, wenn A

• Bisubjunktion
• (Materiale) Äquivalenz

Im Rahmen dieser Website wird das Identitätszeichen (≡, gesprochen: „genau dann, wenn“ oder auch: „ist identisch zu“) als Zeichen für das Bikonditional verwendet. In anderen Publikationen kann man u.a. ↔, ⇔, oder gelegentlich auch die Tilde (~) finden. Auch das aus der Informatik stammende Kunstwort iff („if and only if “) ist gebräuchlich.

Das Bikonditional ist ein sehr aussagekräftiger logischer Junktor, was auch heißt, dass es außerhalb von formalen Systemen (wie Mathematik und Logik) nur sehr wenige praktische Anwendungsfälle gibt, in denen solche Aussagen gültig wären.

Dies umfasst insbesondere die folgenden Situationen:

Offensichtlich sind bikonditionale Aussagen immer gültig, wenn Antezedenz und Konsequenz (A und B) identisch sind (z.B. „Wenn es regnet, regnet es“).

Dasselbe gilt auch, wenn die Tautologie nur indirekt besteht, etwa durch die Definitionen der verwendeten Begriffe; Solche Aussagen gibt es v.a. in der Mathematik – z.B. aus „wenn eine Zahl durch 2 teilbar ist, ist sie gerade“ lässt sich ableiten, dass „wenn eine Zahl nicht gerade ist, ist sie nicht durch 2 teilbar“, da „gerade“ und „durch 2 teilbar“ per Definition synonym verwendbar sind.

Solche Tautologien können über mehrere Zwischenstufen definiert sein, wie das folgende Beispiel zeigt:

Wenn heute Montag ist, ist übermorgen Mittwoch.

Man kann „Mittwoch“ definieren als „der Tag nach Dienstag“ und diesen wiederum als den „Tag nach Montag“. Damit liegt der Mittwoch per Definition „zwei Tage nach Montag“. Damit ist die Aussage tautologisch und folglich ist auch die Umkehrung wahr:

Wenn übermorgen Mittwoch ist, ist heute Montag.

Auch unabhängig von einer echten Tautologie können A und B identische Mengen beschreiben: In der Mengenlehre lässt sich dies wie folgt beschreiben: 𝔸 ∖ 𝔹 = ∅ (die Differenzmenge von A mit B ist leer).

Zum Beispiel die folgenden Mengen:

𝔸 = Alle Astronauten, die zum Mond geflogen sind.
𝔹 = Alle Personen, die Gesteinsproben vom Mond geholt haben.

Auch wenn 𝔸 und 𝔹 nicht notwendigerweise dieselbe Menge beschreiben (es ist möglich, zum Mond zu fliegen, ohne Gesteinsproben mitzubringen), ist die Differenzmenge dieser Gruppen die leere Menge*. Daher ist das Bikonditional A ≡ B gültig.

* Hinweis: ich vermute, dass diese Gruppen identisch sind, habe dafür aber keine Quelle gefunden. Dies soll daher nur ein (rein theoretisches) Beispiel darstellen. Wer mehr Informationen dazu hat, soll mich bitte kontaktieren.

Der logische Fehlschluss der Negation der Antezedenz beruht auf einer Verwechslung von Subjunktion und Bikonditional.

• Subjunktion
• Negation der Antezedenz

• Bikonditional auf Wikipedia