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Existenzsatz

Eine Form von kategorischer Aussage, welche die Existenz eines Elementes in einer Menge mit bestimmten Eigenschaften beschreibt.

Zum Beispiel:

Es existieren Hunde, die genau drei Beine haben.

Ein negativer Existenzsatz sagt aus, dass es Objekte gibt, auf welche die Beschreibung nicht zutrifft.

Zum Beispiel:

Es existieren Hunde, die nicht genau drei Beine haben.

Andere Namen

  • Existenzaussage
  • Partikuläraussage

Beschreibung

Ein positiver Existenzsatz ist eine Aussage, die für wenigstens ein Element einer Gesamtmenge wahr ist.

Einige S sind P.

Oder als Formel dargestellt:

∃ 𝑠 ∈ 𝕊 : P
(es existiert [mindestens] ein s in der Menge 𝕊, für welches P gilt)

Ein negativer Existenzsatz beschreibt den Fall, dass das Merkmal nicht zutrifft:

∃ 𝑠 ∈ 𝕊 : ¬P
(es existiert [mindestens] ein s in der Menge 𝕊, für welches nicht-P gilt)

Hinweis: Dies sollte nicht mit einem negativen Allsatz verwechselt werden, der wie folgt aussieht:

Kein S ist P.
∄ 𝑠 ∈ 𝕊 : P
(Es existiert kein s in der Menge 𝕊, für welches P gilt)

Entsprechend den Beispielen oben, wäre das folgende ein negativer (allerdings falscher) Allsatz:

Es existiert kein Hund, der genau drei Beine hat.

Andere Umschreibungen

Existenzsätze können auf verschiedene Weise umschrieben werden, die aus logischer Sicht alle gleichwertig sind, jedoch jeweils unterschiedliche Aspekte solcher Aussagen in den Vordergrund rücken:

  • „Es existieren S, die P [sind].“
  • „Es existiert mindestens ein S, welches P [ist].“
  • „Einige S sind P

Die verschiedenen Aussageformen werden hier auf dieser Site je nach Kontext unterschiedslos verwendet.

Ungeeignete Umschreibungen

Die folgende Umschreibung sollte vermieden werden, da sie mehrdeutig ist und sowohl als Existenz, als auch als Allsatz verstanden werden kann:

Existenzvoraussetzung

Anders als beim Allsatz gilt Existenzsätzen die Voraussetzung, dass die Begriffsmenge nicht leer sein darf.

Dieser Umstand kann verdeutlicht werden, indem eine Umschreibung wie: „es existieren S, welche P“ verwendet wird. Diese Voraussetzung ist aber unabhängig von der Umschreibung immer impliziert.

Hierbei gilt, dass bei Aussagen vom Typ „I“ (z.B.: „einige S sind P“) sowohl S als auch P existent sein müssen, während bei Aussagen vom Typ „O“ (z.B.: „einige S sind nicht P“) nur S existieren muss.

In beiden Fällen führt dies dazu, dass bei der Ableitung von Existenz- aus Allsätzen zunächst bewiesen werden muss, dass es wenigstens ein Element der Begriffsmenge gibt. Solche Nebenbedingungen sind z.B. bei Syllogismen wie dem Modus Barbari oder Darapti nötig.

Verteilung

In affirmativen (bejahenden) Existenzsätzen sind weder Subjekt noch Prädikat verteilt, d.h. sie können grundsätzlich nicht auf eine Untermenge der jeweiligen Begriffsmenge angewandt werden.

Bei negativen Existenzsätzen ist nur das Prädikat verteilt.

Verifizierung

Um einen Existenzsatz zu verifizieren, genügt es, ein einzelnes Beispiel zu finden, auf welches die Aussage zutrifft.

Um die Existenz von dreibeinigen Hunden zu beweisen, genügt es also einen einzigen davon zu finden. Eben­so genügt es einen einzigen nicht-dreibeinigen zu finden, um den negativen Existenzsatz zu belegen.

Allerdings kann ein Existenzsatz auch widerlegt werden, indem man nachweist, dass die Begriffsmenge (hier: „Hunde“) eine leere Menge ist. Wenn es keine Hunde gäbe, könnte es weder dreibeinige noch nicht-drei­beinige geben.

Bezeichner

Sowohl in der Logik als auch in der Mathematik wird gewöhnlich das Symbol für Existenzaussagen benutzt. Dies wird ausgesprochen als „es existiert …“. Zum Beispiel:

∃ 𝑛 ∈ ℕ : 𝑛² = 25
(es existiert eine Zahl 𝑛 in der Menge der natürlichem Zahlen, für die gilt: 𝑛² ist gleich 25)

Beim negativen Existenzsatz benutzt man entweder ein ¬ oder ein anderes Symbol, welches Negation oder Ungleichheit ausdrückt, z.B.:

∃ 𝑛 ∈ ℕ : 𝑛² ≠ 11
(es existiert eine Zahl 𝑛 in der Menge der natürlichem Zahlen, für die gilt: 𝑛² ist nicht gleich 11)

In manchen Kontexten wird auch das Symbol für negative Existenzsätze gebraucht. Hiervon wird hier abgeraten, da dieses Zeichen auch für negative Allsätze benutzt wird.

Siehe auch

Weitere Informationen

Über diese Site

Ad Hominem Info ist ein Projekt, die häufigsten Irr­tümer und Trug­schlüsse zu erklären und zu kate­gori­sieren. Auf dieser Seite finden sie einen Hinter­grund­artikel, der ein wichtiges Konzept aus dem Bereich „Logik“, welches zum Ver­­ständnis von anderen Artikel nötig ist, kurz erklärt.
Für mehr In­for­ma­tionen, siehe die Haupt­kategorie  Logik.

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