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Existenzsatz

Eine Aussage darüber, ob es in einer Menge (mindestens) ein bestimmtes Element gibt oder nicht.

Zum Beispiel:

Es existieren Hunde, die genau drei Beine haben.

Ein negativer Existenzsatz sagt aus, dass es Objekte gibt, auf welche die Beschreibung nicht zutrifft.

Zum Beispiel:

Es existieren Hunde, die nicht genau drei Beine haben.

Andere Namen

  • Existenzaussage
  • Partikuläraussage

Beschreibung

Ein positiver Existenzsatz ist eine Aussage, die für wenigstens ein Element einer Gesamtmenge wahr ist.

Einige X sind Y.

Oder als Formel dargestellt:

∃ 𝑥 ∈ 𝕏 : Y
(es existiert [mindestens] ein 𝑥 in der Menge 𝕏, für welches Y gilt)

Ein negativer Existenzsatz beschreibt den Fall, dass das Merkmal nicht zutrifft:

∃ 𝑥 ∈ 𝕏 : ¬Y
(es existiert [mindestens] ein 𝑥 in der Menge 𝕄, für welches nicht-Y gilt)

Hinweis: Dies sollte nicht mit einem negativen Allsatz verwechselt werden, der wie folgt aussieht:

Kein X ist Y.
∄ 𝑥 ∈ 𝕏 : Y
(Es existiert kein 𝑥 in der Menge 𝕏, für welches Y gilt)

Entsprechend den Beispielen oben, wäre das folgende ein negativer (allerdings falscher) Allsatz:

Es existiert kein Hund, der genau drei Beine hat.

Existenzvoraussetzung

Anders als beim Allsatz gilt bei Existenzsätzen die Voraussetzung, dass die Begriffsmenge nicht leer sein darf.

Dies kann dazu führen, dass bei der Ableitung von Existenz- aus Allsätzen zunächst bewiesen werden muss, dass es wenigstens ein Element der Begriffsmenge gibt. Solche Nebenbedingungen sind z.B. bei Syllogismen wie dem Modus Barbari oder Calemos nötig.

Verifizierung

Um einen Existenzsatz zu verifizieren, genügt es, ein einzelnes Beispiel zu finden, auf welches die Aussage zutrifft.

Um die Existenz von dreibeinigen Hunden zu beweisen, genügt es also einen einzigen davon zu finden. Eben­so genügt es einen einzigen nicht-dreibeinigen zu finden, um den negativen Existenzsatz zu belegen.

Allerdings kann ein Existenzsatz auch widerlegt werden, indem man nachweist, dass die Begriffsmenge (hier: „Hunde“) eine leere Menge sei. Wenn es keine Hunde gäbe, kann es auch weder dreibeinige noch nicht-drei­beinige geben.

Bezeichner

Sowohl in der Logik als auch in der Mathematik wird gewöhnlich das Symbol für Existenzaussagen benutzt. Dies wird ausgesprochen als „es existiert …“. Zum Beispiel:

∃ 𝑛 ∈ ℕ : 𝑛² = 25
(es existiert eine Zahl 𝑛 in der Menge der natürlichem Zahlen, für die gilt: 𝑛² ist gleich 25)

Beim negativen Existenzsatz benutzt man entweder ein ¬ oder ein anderes Symbol, welches Negation oder Ungleichheit ausdrückt, z.B.:

∃ 𝑛 ∈ ℕ : 𝑛² ≠ 11
(es existiert eine Zahl 𝑛 in der Menge der natürlichem Zahlen, für die gilt: 𝑛² ist nicht gleich 11)

Siehe auch

Weitere Informationen

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Für mehr In­for­ma­tionen, siehe die Haupt­kategorie  Logik.

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