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Tautologie (Logik)

In der Logik bezeichnet man als Tautologie eine Aussage, die notwendig wahr ist.

Beispiel:

: Es regnet oder es regnet nicht.

Da es keinen dritten Zustand neben „regnen“ und „nicht regnen“ geben kann, ist die obige Aussage notwendig wahr, d.h. es ist keine Situation vorstellbar, in der die Aussage falsch sein könnte.

Beschreibung

Jede Aussage, die unabhängig von äußeren Umständen immer wahr ist, wird als Tautologie bezeichnet.

Die folgenden logischen Formeln sind solche Tautologien, da sie niemals falsch sein können:

: A ∨ ⌐A   (A oder nicht A)
: A → A   (wenn A dann A)

Dasselbe gilt für alle (korrekten) mathematischen Gleichungen oder auch Ungleichungen, etwa:

: 2 + 3 = 5
: x² ≥ 0
: ¹⁄x ≠ 0

In allen diesen Fällen ist die Aussage zwangsläufig wahr.

Tautologien können auch in Definitionen versteckt sein, z.B. ist die folgende Aussage tautologisch:

: Wenn eine Zahl gerade ist, dann ist sie durch 2 teilbar.

Da die Teilbarkeit durch 2 eine mögliche Definition von geraden Zahlen darstellt und damit Antezedenz und Konsequenz Synonyme sind.

Gegenteil

Das Gegenteil einer Tautologie ist eine Kontradiktion (Widerspruch). Dabei handelt es sich um eine Aussage, die notwendig falsch ist.

Abgrenzung

Keine Tautologien sind Aussagen, die nur aufgrund von Erfahrungen als immer wahr bekannt sind. Zum Beispiel:

Die Geschwindigkeit des Lichtes im Vakuum beträgt 299 792 458 ms.

Da es sich bei der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum um eine Naturkonstante handelt, ist die Aussage auf­grund der physikalischen Gesetze immer wahr. Dies lässt sich jedoch nicht aus den Gesetzen der Logik her­leiten.

Bedeutung

Tautologische Aussagen sind prinzipiell nicht als Prämissen für irgendeine Schluss­form erlaubt. Auch im Schluss­satz kann man aus einer dort auf­treten­den Tautologie nur herauslesen, dass es irgendwo einen Fehler geben muss (was dann aber genau zum Beweis der Un­gültig­keit einer Aus­sage her­an­ge­zogen werden kann).

Andere Bedeutungen

Der Begriff „Tautologie“ wird neben der Logik auch in der Mathematik und von den Sprachwissenschaften in anderen Bedeutungen verwendet.

Symbole

Auf dieser Site wird das logische Symbol für Tautologien verwendet. Da jede Tautologie inhärent immer wahr ist, kann sie auch durch den Ausdruck „wahr“ bzw. den äquivalenten Ausdruck im je­weiligen Formalsystem (z.B. 1 in der boole­schen Logik) ersetzt oder beschrieben werden.

Da das Symbol dem Buchstaben „T“ ähnelt, wird es meist einfach als „Tau­to­logie“ ausgesprochen. Manch­mal wird auch der Begriff „verum“ (Lat.: „wahr“) dafür benutzt.

Seltener sieht man das Symbol in derselben Bedeutung. Von der Ver­wend­ung ist aber abzuraten, da dieses Symbol auch mit der Bedeutung „Im­pli­ka­tion“ ( Sub­junk­tion) verwendet wird.

Siehe auch

Weitere Informationen

Über diese Site

Ad Hominem Info ist ein Projekt, die häufigsten Irr­tümer und Trug­schlüsse zu erklären und zu kate­gori­sieren. Auf dieser Seite finden sie einen Hinter­grund­artikel, der ein wichtiges Konzept aus dem Bereich „Logik“, welches zum Ver­­ständnis von anderen Artikel nötig ist, kurz erklärt.
Für mehr In­for­ma­tionen, siehe die Haupt­kategorie  Logik.

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