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(Fehler der) leeren Begriffsmenge

Wenn die Menge aller Objekte, die mit einem Begriff in einer logischen Aussage bezeichnet werden (die „Extension“ des Begriffes), leer ist, hat das bestimmte Nebeneffekte, welche zu unerwarteten Ergebnissen führen können.

Zum Beispiel:

Alle Einhörner sind unsterblich.

Diese Aussage ist wahr, unter der Voraussetzung, dass die Menge aller Einhörner leer ist, dass es also überhaupt keine Einhörner gibt. Anders gesagt: es existiert kein Einhorn, das jemals sterben könnte.

Typisch für diese Art von Aussage, die auf einer leeren Begriffsmenge beruht ist, dass auch die gegenteilige Aussage zwingend wahr ist:

Alle Einhörner sind sterblich.

Da kein Einhorn existiert, das nicht sterblich sein könnte, ist auch diese Aussage wahr.

Bedeutung

In der klassischen Logik wird meist vorausgesetzt, dass die Begriffe, die in den Aussagen verwendet werden, keine leeren Mengen betreffen (siehe z.B. Syllogismus§Existenzvoraussetzung). Eine Reihe von Fehl­schlüs­sen entstehen daraus, dass diese Möglichkeit nicht in Betracht gezogen bzw. nicht adäquat ausgeschlossen wird.

Bestimmte Aussagen über die Eigen­schaften der Elemente einer leeren Menge führen zu leeren Wahr­heiten, d.h. sie sind zwar wahr, haben aber keine Aussagekraft und können je nach Formulierung zu Tautologien oder Kontra­diktionen führen.

Allerdings kann es unter bestimmten Umständen einfacher sein, einen Existenzsatz dadurch zu widerlegen, dass man belegt, dass er sich auf eine leere Begriffsmenge bezieht, als dies auf andere Weisen möglich wäre.

Schluss vom Allsatz auf einen Existenzsatz

Grundsätzlich ergibt sich aus dem Prinzip „dictum de omni et nullo“, dass man von einer Allaussage (z.B.: „alle X sind Y“) auch eine Existenz­aussage („Es gibt X, die Y.“) ableiten kann.

Dabei gibt es aber die Einschränkung, dass hierfür zunächst nachgewiesen werden muss, dass die Begriffs­menge nicht leer ist, dass es also tatsächlich (wenigstens ein) X gibt, auf welche sich die Aussage beziehen kann.

Aus diesem Grund gibt es für einige Syllogismusformen, bei denen von Allsätzen auf Existenzsätze ge­schlos­sen wird, Nebenbedinungen, die es erforderlich machen, nachzuweisen, dass die Begriffsmenge nicht leer ist (darüber hinaus sollte man auch prüfen, ob die Aussage nicht vielleicht eine emergente Eigenschaft betrifft, aber das ist ein anderes Thema).

Was passiert, wenn diese Nebenbedingung nicht erfüllt ist, kann man anhand des folgenden Modus Bamalip erkennen:

Alle Einhörner sind Pferde.  –   wahr, da leere Begriffsmenge
Alle Pferde sind Einhufer.   –   wahr
[und es existiert wenigstens ein Einhorn]   –   falsch

Es existieren Einhufer, welche Einhörner sind.   –   falsch, da Nebenbedingung nicht erfüllt ist

Hierin ist der Obersatz („Alle Einhörner sind Pferde“) genau deshalb wahr, weil jede Aussage über die Ele­mente einer leeren Begriffsmenge wahr ist. Ohne die Nebenbedingung würde der Schlusssatz aber im­plizieren, dass es tatsächlich Einhörner gäbe, was nicht der Fall ist.

Aussagen über leere Mengen

Die einzige Aussage, die sinnvoll über die Elemente einer leeren Menge gemacht werden kann, ist eben die, dass es keine gibt:

Die Zahl der Elemente einer leeren Menge ist null.

Andererseits können über die Menge selbst durchaus Aussagen gemacht werden, z.B.:

  • Die leere Menge ist Teilmenge jeder anderen Menge.
  • Jede Menge bleibt bei Vereinigung mit der leeren Menge unverändert.
  • Jede Allaussage über Elemente der leeren Menge ist wahr. (siehe  Leere Wahrheit)
  • etc.

Siehe auch

Weitere Informationen

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