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Geometrisches Mittel

Methode zur Ermittlung eines Mittelwertes, der besonders für Wachstums­raten geeignet ist und das auf Multiplikation und Wurzelziehen beruht.

Herkunft des Namens

Der Name bezieht sich darauf, dass dieser Rechenweg die mathematische Lösung für eine geo­metrische Aufgabenstellung bietet, die als Quad­ra­tur des Rechtecks bekannt ist: darin soll für ein Rechteck mit den Seiten­längen 𝒂 und 𝒃 ein flächengleiches Quadrat konstruiert werden. Die Seiten­länge dieses Quadrates entspricht dem geometrischen Mittel aus 𝒂 und 𝒃.

Beschreibung

Zur Berechnung des geometrischen Mittels werden zunächst alle Werte miteinander multipliziert und dann die 𝑛-te Wurzel aus dem Produkt gezogen (mit 𝑛 = Anzahl der Werte).

Die allgemeine Formel zur Berechnung des geometrischen Mittels ergibt sich aus dem Satz des Pythago­ras und sieht wie folgt aus:

𝑥 geo = 𝑛 𝑛 𝑖 = 1 𝑥 𝑖

Oder vereinfacht dargestellt:

𝑥 geo = ( 𝑥 1 . 𝑥 2 𝑥 𝑛 ) 1 𝑛

Voraussetzungen

  • Kein Datenpunkt darf genau 0 sein, da ansonsten das Produkt aller Werte und damit auch das Gesamtergebnis immer 0 ist.
  • Alle Zahlen müssen positiv sein, da ansonsten das Produkt der Werte negativ werden kann, wodurch wiederum das Ergebnis der Wurzeloperation mehrdeutig würde.

Berechnung der durchschnittlichen Wachstumsrate

Der wichtigste praktische Anwendungsbereich des geometrischen Mittels ist die Berechnung einer durch­schnitt­lichen Wachstumsrate aus den Prozentsätzen, um die etwas (Guthaben, Volkswirtschaft, Inflation, etc.) in mehreren aufeinander folgenden Perioden gewachsen (bzw. geschrumpft) ist.

Hierbei reicht es nicht, einfach die Prozentsätze (weder als Prozent- noch als Kommazahl) in die Formel ein­zu­setzen, stattdessen muss man diese in Relation zum Ausgangswert (also zu 100 %) stellen. Das ist weniger kompliziert als es sich anhört: dazu wird jeder Prozentwert als Kommazahl dargestellt (z.B. 0,05 für 5 %) und dann zu 1 addiert.

Zum Beispiel wird 5 % so zu 1,05 und aus -5 % wird 0,95. Damit wird auch die Einschränkung, dass keine negativen Werte eingesetzt werden können, deutlich weniger problematisch.

Allerdings ist das Endergebnis dann auch um genau 1 zu hoch. Daher muss diese Zahl am Ende wieder ab­ge­zogen werden. Die Formel für das geometrische Mittel von Wachstumsraten lautet daher:

𝑥 geo = ((1+x 1 ) · (1+x 2 ) … (1+xₙ)) - 1

Wann sollte man ihn nicht benutzen?

Das geometrische Mittel ist nicht die richtige Wahl für Wachstumsraten, die sich auf die gleiche Periode beziehen, zum Beispiel das Mittel zweier Zinssätze, die für Teile eines Kredits zu bezahlen sind. Hierfür ist weiterhin das arithmetische Mittel die richtige Wahl.

Bedeutung

Das geometrische Mittel ist die richtige Wahl, wenn durchschnittliche Veränderungen berechnet werden sollen, z.B. die durchschnittlichen Preissteigerungen pro Jahr (siehe Inflationsrate), das durchschnittliche Bevölkerungswachstum in Prozent (im Verhältnis zum Vorjahr) oder ähnliches.

Ebenso hat sich bei psychophysischen Beobachtungen herausgestellt, dass das geometrische Mittel besser als andere Mittelwerte geeignet ist, die durchschnittliche Empfindungsstärke von Reizen (z.B. Lautstärke, Helligkeit) abzubilden.

Beispiele

Geometrie: Quadratur des Rechtecks

Gegeben ist ein Rechteck mit den Seitenlängen 8 und 18 cm. Wir suchen ein Quadrat, welches genau die gleiche Fläche hat wie dieses Rechteck.

Die Seitenlänge eines solchen Quadrates entspricht dem geometrischen Mittel der beiden Seitenlängen des Rechteckes. Dieses berechnet sich wie folgt:

𝑥 geo =(8 · 18)½
=12

Ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 12 cm hat die gleiche Fläche wie das o.g. Rechteck, nämlich 144 cm².

Verzinsung

Eine Geldanlage von € 1000,– wird über 5 Jahre angelegt. Der Zinssatz wird in jedem Jahr unterschiedlich festgelegt und am Ende des Jahres auf das Anlagekonto eingezahlt. Dadurch entwickelt sich das Guthaben wie folgt:

Einzahlung 1. Jahr 2. Jahr 3. Jahr 4. Jahr 5. Jahr
Zinssatz 3,0 % 2,4 % 2,8 % 3,3 % 2,1 %
Guthaben € 1000,– € 1030,– € 1054,72 € 1084,25 € 1120,03 € 1143,55

Um die durchschnittliche Verzinsung zu berechnen, wäre es naheliegend, einfach das arithmetische Mittel der Zinssätze zu nehmen. In diesem Fall entspricht dieses 2,72 %. Allerdings erhalten wir ein anderes Endergebnis, wenn wir diesen gemittelten Zinssatz als konstanten Zinssatz über den gleichen Zeitraum anwenden.

Einzahlung 1. Jahr 2. Jahr 3. Jahr 4. Jahr 5. Jahr
Zinssatz 2,72 % 2,72 % 2,72 % 2,72 % 2,72 %
Guthaben € 1000,– € 1027,20 € 1055,14 € 1083,84 € 1113,32 € 1143,60

Die Lösung ist hier das geometrische Mittel. Fügt man die obigen Zinssätze in die Formel für Prozentsätze ein, sieht das wie folgt aus:

𝑥 geo =(⟮1 + 0,030⟯ · ⟮1 + 0,024⟯ · ⟮1 + 0,028⟯ · ⟮1 + 0,033⟯ · ⟮1 + 0,021⟯) - 1
=0,027191157…
=2,719…%

Der Unterschied zum arithmetischen Mittel ist hier zwar gering (was auch daran liegt, dass die Ausgangswerte relativ klein waren). Wendet man diesen Wert über die gleiche Zeitspanne als festen Zinssatz an, erhält man tatsächlich das korrekte Endergebnis:

Einzahlung 1. Jahr 2. Jahr 3. Jahr 4. Jahr 5. Jahr
Zinssatz 2,719…% 2,719…% 2,719…% 2,719…% 2,719…%
Guthaben € 1000,– € 1027,19 € 1055,12 € 1083,81 € 1113,28 € 1143,55

Eigenschaften

Das geometrische Drittel ist stets kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel aus den gleichen Zahlen (siehe: Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel).

Das geometrische Mittel aus zwei Werten weicht von beiden Werten um den gleichen Faktor ab; z.B. ist das geometrische Mittel aus 1 und 9 genau das Dreifache von 1 und ein Drittel von 9, also 3.

Als Maß der Streuung der Daten um das geometrische Mittel ist in den meisten Fällen die Geometrische Standardabweichung die richtige Wahl.

Siehe auch

Weitere Informationen

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