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Bayes-Theorem

Ein Theorem der Wahr­schein­lich­keits­theorie zur Berechnung bedingter Wahr­schein­lich­keiten, benannt nach dem englischen Mathematiker Thomas Bayes.

Andere Namen

  • Satz von Bayes
  • Bayes’ law

Beschreibung

Das Bayes-Theorem beschreibt wie absolute und bedingte Wahr­schein­lich­keiten zweier Ereignisse sich zu­ein­ander ver­halten.

Hierin ergibt sich die bedingte Wahr­schein­lich­keit von 𝑨 unter der Vor­aus­setz­ung, dass 𝑩 ein­getreten ist. Hierfür müssen die bedingte Wahr­schein­lich­keit von 𝑩 unter der Vor­aus­setzung, dass 𝑨 ein­getreten ist, sowie die absoluten (a-priori) Wahr­schein­lich­keiten von 𝑨 und 𝑩 bekannt sein.

Satz von Bayes

Darin ist:

  • 𝑷 ( 𝐴 | 𝐵 ) = Die bedingte Wahr­schein­lich­keit, dass Er­eig­nis 𝑨 eintritt unter der Vor­aus­setz­ung, dass Er­eig­nis 𝑩 eigetreten ist
  • 𝑷 ( 𝐵 | 𝐴 ) = Die bedingte Wahr­schein­lich­keit, dass Er­eig­nis 𝑩 eintritt unter der Vor­aus­setz­ung, dass Er­eig­nis 𝑨 eingetreten ist.
  • 𝑷 ( 𝐴) = Die a-priori Wahr­schein­lich­keit, dass Er­eig­nis 𝑨 eintritt.
  • 𝑷 ( 𝐵 ) = Die a-priori Wahr­schein­lich­keit, dass Er­eig­nis 𝑩 eintritt.

Alle Wahr­schein­lich­keiten werden als Fließ­komma­zahl zwischen 0 (= un­mög­lich) und 1 (= unbedingt wahr) in die Berechnung übernommen. Für eine Wahr­­schein­­lich­­keit von 50 % wird also 0,5 eingefügt.

Die einzige Einschränkung dabei ist, dass 𝑷 ( 𝐵 ) nicht genau 0 sein darf (siehe: Division durch Null)

Bedeutung

Das Bayes-Theorem hat sich als einer der wichtigsten Kernsätze der Wahr­schein­lich­keits­rech­nung erwiesen für den es zahlreiche Anwendungsfälle in Statistik (siehe Bayessche Statistik) und darüber hinaus gibt.

Siehe auch

Weitere Informationen

Über diese Site

Ad Hominem Info ist ein Projekt, die häufigsten Irr­tümer und Trug­schlüsse zu erklären und zu kate­gori­sieren. Auf dieser Seite finden sie einen Hinter­grund­artikel, der ein wichtiges Konzept aus dem Bereich „Stochastik“, welches zum Ver­­ständnis von anderen Artikel nötig ist, kurz erklärt.
Für mehr In­for­ma­tionen, siehe die Haupt­kategorie  Stochastik.

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