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Bayes-Theorem

Ein Theorem der Wahrscheinlichkeitstheorie zur Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten, benannt nach dem englischen Mathematiker Thomas Bayes.

Andere Namen

  • Satz von Bayes
  • Bayes’ law

Beschreibung

Das Bayes-Theorem beschreibt wie absolute und bedingte Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse sich zueinander verhalten.

Hierin ergibt sich die bedingte Wahrscheinlichkeit von 𝑨 unter der Voraussetzung dass 𝑩 eingetreten ist errechnen lässt aus der (umgekehrten) bedingten Wahrscheinlichkeit von 𝑩 unter der Voraussetzung dass 𝑨 eingetreten ist, vorausgesetzt die absoluten (a-priori) Wahrscheinlichkeiten von 𝑨 und 𝑩 sind bekannt.

𝑷(𝑨|𝑩) =𝑷(𝑩)𝑷(𝑩|𝑨) ·𝑷(𝑨)

Darin ist:

  • 𝑷 ( 𝑨 | 𝑩 ) = Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis 𝑨 eintritt unter der Voraussetzung, dass Ereignis 𝑩 eigetreten ist
  • 𝑷 ( 𝑩 | 𝑨 ) = Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis 𝑩 eintritt unter der Voraussetzung, dass Ereignis A eigetreten ist.
  • 𝑷 ( 𝑨 ) = Die a-priori Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis 𝑨 eintritt.
  • 𝑷 ( 𝑩 ) = Die a-priori Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis 𝑩 eintritt.

Alle Wahrscheinlichkeiten werden als Fließkommazahl zwischen 0 (= unmöglich) und 1 (= unbedingt wahr) in die Berechnung übernommen. Für eine Wahrscheinlichkeit von 50% wird also 0,5 eingefügt.

Die einzige Einschränkung dabei ist, dass 𝑷 ( 𝑩 ) nicht genau 0 sein darf (siehe: Division durch Null)

Bedeutung

Das Bayes-Theorem hat sich als einer der wichtigsten Kernsätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung erwiesen für den es zahlreiche Anwendungsfälle in Statistik (siehe Bayessche Statistik) und darüber hinaus gibt.

Siehe auch

Weitere Informationen

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mathematik/stochastik/begriffe/bayes-theorem.txt · Zuletzt geändert: 2021/01/09 13:11 (Externe Bearbeitung)