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Erwartungswert

Beschreibt den Wert, der rein aufgrund der statistischen Wahrscheinlichkeit zu erwarten wäre.

Beispiel:

Bei einem Multiple-Choice-Test mit jeweils drei Antwortmöglichkeiten kann man erwarten, dass wenn der Proband die Fragen rein nach dem Zufallsprinzip beantwortet, ein Drittel der Fragen zufällig korrekt be­ant­wortet werden.

Der Erwartungswert für einen solchen Test ist daher ⅓. Nur wenn signifikant mehr als ein Drittel korrekte Ant­worten gegeben wurden, kann man nicht mehr von rein zufälligen Antworten ausgehen.

Andere Namen

  • Expected value

Beschreibung

Das Konzept des „zu erwartenden Wertes“ ist wichtige Grundlage dafür, überhaupt erst sagen zu können, ob es ein signifikantes Ergebnis gibt oder nicht. Weichen die gemessenen Werte nicht genügend vom Erwartungswert ab, kann man das Ergebnis aus­schließ­lich durch Zufall erklären.

Umgekehrt können wir erkennen, wenn ein Zufallsgenerator (z.B. ein Würfel oder ein Münze) „fair“ ist, indem wir überprüfen, ob die gemessenen Werte tatsächlich nahe genug am erwarteten Durchschnittswert liegen.

Hinweis: Die Ermittlung des Erwartungs­wertes ist nicht immer so trivial wie in dem obigen Beispiel. Da dieser Wert aber extrem wichtig ist, um Daten überhaupt bewerten zu können, wird man oft auf Schätz­ungen und Wahrscheinlichkeiten zurückgreifen müssen. Dies hat dann allerdings auch wieder Aus­wirk­ungen auf den Unsicherheitsfaktor, der sich auf das Ergebnis auswirkt.

Durchschnittswerte

In den meisten Fällen (allerdings nicht immer!) entspricht der Erwartungswert auf die eine oder andere Weise einem Mittelwert, oder kann auf einen solchen abgebildet werden.

Zum Beispiel gilt bei einem (fairen) Würfel, dass wir erwarten würden, dass alle Augenzahlen gleich häufig gewürfelt werden. Um dies als einen einzigen „Erwartungswert“ darzustellen, muss man die Aufgabe ein wenig umformulieren:

Das arithmetische Mittel aller möglichen Augenzahlen bei einem „normalen“ (6-seitigen) Würfel beträgt: (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) ∕ 6 = 3,5. Anders gesagt: der Erwartungswert des arithmetischen Mittels der Würfelwerte ist 3,5.

Wird ein solcher Würfel sehr häufig geworfen und von den Ergebnissen ebenfalls das arithmetische Mittel errechnet, ist zu erwarten, dass dieser Durchschnitt nahe an diesem Wert liegt ( Gesetz der großen Zahlen).

Siehe auch

Weitere Informationen

Über diese Site

Ad Hominem Info ist ein Projekt, die häufigsten Irr­tümer und Trug­schlüsse zu erklären und zu kate­gori­sieren. Auf dieser Seite finden sie einen Hinter­grund­artikel, der ein wichtiges Konzept aus dem Bereich „Stochastik“, welches zum Ver­­ständnis von anderen Artikel nötig ist, kurz erklärt.
Für mehr In­for­ma­tionen, siehe die Haupt­kategorie  Stochastik.

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