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Gesetz der kleinen Zahlen

Beschreibt als eine Heuristik für die Erwartungswerte der Verteilung der Ergebnisse von zu­fälligen, von­ein­ander unabhängigen Ereignissen bei nur wenigen Ereignissen.

Demnach tritt bei genau so vielen Zufallsereignissen wie es Aus­gangs­mög­lich­keiten gibt, jeweils etwa ein Drittel der möglichen Ergebnisse gar nicht, genau einmal oder mehrfach ein.

Beispiel:

Wird ein (fairer, sechsseitiger) Würfel genau 6× geworfen, ist es relativ unwahrscheinlich (nur 5:324 oder ca. 1,5 %), dass jede Augenzahl gleich oft gewürfelt wird. Stattdessen ist zu erwarten, dass zwei der möglichen Augen­zahlen genau einmal, zwei weitere jeweils zweimal und die verbleibenden zwei überhaupt nicht er­scheinen.

Dies steht im Gegensatz zum sog. „Gesetz der großen Zahlen“, nach dem bei sehr vielen Würfen alle mög­lichen Augenzahlen annähernd gleich oft zu erwarten sind.

Hinweis: Die hier beschriebene Wahrscheinlichkeitsheuristik sollte nicht mit dem Phänomen verwechselt werden, dass viele Menschen die Prävalenz seltener Ereignisse systematisch falsch einschätzen, die auch manchmal (fälschlich) als „Gesetz der kleinen Zahlen“ bezeichnet wird. Siehe hierzu  Bayes-Falle.

Andere Namen

  • Zwei-Drittel-Gesetz
  • Gesetz des Drittels

Beschreibung

Bei voneinander unabhängigen Zufallsereignissen können in jeder neuen Runde alle möglichen Werte wieder mit der gleichen Wahrscheinlichkeit erneut auftreten. Daraus ergibt sich zum einen, dass diese bei sehr vielen Wiederholungen zunehmend gleich häufig auftreten ( Gesetz der großen Zahlen), aber eben auch, dass es eher unwahrscheinlich ist, dass dies bereits bei sehr wenigen Ereignissen auftritt.

Bei genau so vielen Ereignissen wie es Möglichkeiten gibt (also z.B. genau sechs Würfen eines sechs­sei­tig Würfels) gilt als Faustregel ( Heuristik), dass jeweils rund (!) ein Drittel der möglichen Ergebnisse genau mehrfach, einfach oder überhaupt nicht zu erwarten sind. Dies wird spezifisch auch als „Zwei-Drittel-Gesetz“ bezeichnet.

Aus dem „Gesetz der kleinen Zahlen“ lässt sich aber auch ableiten, dass bei seltenen Ereignissen mit „Clustern“ zu rechnen ist, also dass sich auch vergleichsweise seltene Ereignisse unter bestimmten Umständen gehäuft auftreten können.

Hinweis: Leider sagt diese Regel nichts darüber aus, welche der möglichen Ergebnisse häufiger auftreten werden als die anderen. Für den Aufbau einer Gewinn versprechenden Spielstrategie ist das „Gesetz der kleinen Zahlen“ daher nicht zu gebrauchen.

Weitere Beispiele

Roulette

Bei genau 37 Runden eines (vereinfachten) Roulette-Spiels (mit genau 1/37 Gewinnchance für jede mögliche Zahl) kann man erwarten, dass die verschiedenen möglichen Ergebnisse (Zahlen von 0 bis 36) wie folgt verteilt auftreten:

Erscheinen in Prozent Absolut
gar nicht 36,3 % 13,4
einmal 37,3 % 13,8
mehrfach 26,3 % 9,7

Tombola

Bei einer Schultombola werden Lose mit einer Gewinnchance von 1:10 verkauft. Um vermeintlich sicher einen Gewinn zu erzielen, kauft A genau 10 Lose.

Tatsächlich liegt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der 10 gekauften Lose ein Gewinn ist, „nur“ bei rund ⅔. Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund ⅓ sind sogar zwei Gewinne dabei, dafür hat A mit einer Wahrscheinlichkeit von ebenfalls rund ⅓ ausschließlich Nieten gekauft.

Siehe auch

Weitere Informationen

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Ad Hominem Info ist ein Projekt, die häufigsten Irr­tümer und Trug­schlüsse zu erklären und zu kate­gori­sieren. Auf dieser Seite finden sie einen Hinter­grund­artikel, der ein wichtiges Konzept aus dem Bereich „Stochastik“, welches zum Ver­­ständnis von anderen Artikel nötig ist, kurz erklärt.
Für mehr In­for­ma­tionen, siehe die Haupt­kategorie  Stochastik.

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