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logik:begriffe:existenzsatz

Existenzsatz

Als Existenzsatz bezeichnet man eine Aussage darüber, ob es ein Objekt gibt oder nicht. Zum Beispiel:

Es gibt dreibeinige Hunde

Eine Eigenheit von Existenzsätzen (im Gegensatz zu Allsätzen) ist, dass es eine Asymmetrie der Beweisbarkeit von positiven gegenüber negativen Existenzaussagen gibt.

Um die Existenz von dreibeinigen Hunden zu beweisen, genügt es einen einzigen davon zu finden. Um die Nichtexistenz zu beweisen, müsste man die Gesamtmenge aller Hunde untersuchen und zu jedem

Andere Namen

  • Existenzaussage
  • Partikuläraussage

Beschreibung

Ein positiver Existenzsatz ist eine Aussage, die für wenigstens ein Element einer Gesamtmenge wahr ist.

Es existiert (wenigstens ein) A [in der Menge 𝕄], für welches B gilt.

Eine Besonderheit der Existenzsätze ist, dass sie in ihrer negativen Form zu (ebenfalls negativen) Allsätzen werden. So ist die Aussage: „Es existieren keine grünen Pferde“ sowohl die Negation des Existenzsatzes „Es existieren grüne Pferde“, als auch des Allsatzes „Alle Pferde sind grün“.

Aussagekraft

Im Gegensatz zu Allsätzen ist die Aussagekraft von Existenzsätzen deutlich geringer, da sie ja keine Aussagen treffen, welche auf alle Elemente der Gesamtmenge anwendbar sind.

Verifizierung

Um einen Existenzsatz zu verifizieren, genügt es, ein einzelnes Beispiel zu finden, auf welches die Aussage zutrifft.

Da negative Existenzsätze praktisch Allsätze sind, gelten für diese die gleichen Verifizierungsvoraussetzungen wie für diese – was heißt: außerhalb von formalen Systemen (wie Logik bzw. Mathematik) ist eine Verifizierung fast unmöglich.

Bezeichner

In der Logik oder Mathematik wird gewöhnlich das Symbol für eine Existenzaussagen benutzt. Dies wird ausgesprochen als „Es existiert …”. Zum Beispiel:

∃ 𝑛 ∈ ℕ: 𝑛² = 25
(es existiert eine Zahl in der Menge der natürlichem Zahlen, für die gilt: 𝑛² ist gleich 25)

Für negative Existenzsätze benutzt man – ebenso wie bei negativen Allsätzen entweder die durchgestrichene Variante () oder man versieht es mit einem Negationszeichen (¬∃). In beiden Fällen spricht man es aus als: „es existiert kein…“.

∄ 𝑛,𝑚 ∈ ℕ: √2̅ = 𝑛/𝑚
(es existieren keine Zahlen 𝑛 und 𝑚 in der Menge der natürlichem Zahlen, für die gilt: 𝑛 geteilt durch 𝑚 ist gleich der Wurzel aus 2)

Siehe auch

Weitere Informationen

logik/begriffe/existenzsatz.txt · Zuletzt geändert: 2019/09/14 17:09 von Sascha