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logik:begriffe:tautologie

Tautologie

In der Logik bezeichnet man als Tautologie eine Aussage oder Formel, die notwendig wahr ist.

Beispiel:

Es regnet oder es regnet nicht.

Da es keinen dritten Zustand neben „regnen“ und „nicht regnen“ geben kann, ist die obige Aussage notwendig wahr, d.h. es ist keine Situation vorstellbar, in der die Aussage falsch sein könnte.

Beschreibung

Jede Aussage, die unabhängig von äußeren Umständen immer wahr ist, wird als Tautologie bezeichnet.

Die folgenden logischen Formeln sind solche Tautologien, da sie niemals falsch sein können:

: A ∨ ⌐A
: A → A

Das gleiche gilt für alle (korrekten) mathematischen Gleichungen oder auch Ungleichungen, etwa:

: 2 + 3 = 5
: x² ≥ 0
: ¹⁄x ≠ 0

Tautologien können auch in Definitionen versteckt sein, z.B. ist die folgende Aussage tautologisch:

Wenn eine Zahl gerade ist, dann ist sie durch 2 teilbar.

Da die Teilbarkeit durch 2 eine mögliche Definition von geraden Zahlen darstellt und damit Antezedens und Konsequenz (die Teilaussagen vor und nach dem „dann“) Synonyme sind.

Gegenteil

Das Gegenteil einer Tautologie ist eine Kontradiktion (Widerspruch). Dabei handelt es sich um eine Aussage, die notwendig falsch ist.

Abgrenzung

Keine Tautologien sind Aussagen, die nur aufgrund von Erfahrungen als immer wahr bekannt sind. Zum Beispiel:

Die Geschwindigkeit des Lichtes im Vakuum beträgt 299 792 458 ms.

Da es sich bei der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum um eine Naturkonstante handelt, ist die Aussage aufgrund der physikalischen Gesetze immer wahr. Dies lässt sich jedoch nicht aufgrund der Gesetze der Logik herleiten.

Bedeutung

Tautologische Aussagen sind prinzipiell nicht als Prämissen für irgendeine Schlussform erlaubt. Auch im Schlusssatz kann man aus einer dort auftretenden Tautologie nur herauslesen, dass es irgendwo einen Fehler geben muss (was dann aber genau zum Beweis der Ungültigkeit einer Aussage herangezogen werden kann).

Andere Bedeutungen

Der Begriff „Tautologie“ wird neben der Logik auch in der Mathematik und von den Sprachwissenschaften in anderen Bedeutungen verwendet. Siehe hierzu:

Symbole

Auf dieser Site wird das logische Symbol für Tautologien verwendet. Da jede Tautologie inhärent immer wahr ist, kann sie auch durch den Ausdruck „wahr“ bzw. den äquivalenten Ausdruck im jeweiligen Formalsystem (z.B. 1) ersetzt oder beschrieben werden.

Seltener sieht man das Symbol in dieser Bedeutung. Von der Verwendung ist abzuraten, da dieses Symbol auch mit der Bedeutung „Implikation“ verwendet wird.

Siehe auch

Weitere Informationen

logik/begriffe/tautologie.txt · Zuletzt geändert: 2019/06/23 22:07 von Sascha