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Irrtümer und Trugschlüsse en gros und en detail

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logik:fehlschluesse:negation_der_antezedenz

Negation der Antezedenz

Logischer Fehlschluss, bei dem (fälschlich) von einer verneinten Prämisse auf ein negatives Ergebnis geschlossen wird.

Zum Beispiel:

Wenn es regnet, [dann] wird die Straße nass.
Es regnet nicht,
————————————————————
die Straße wird nicht nass.

Auch wenn die erste Prämisse („Wenn es regnet wird die Straße nass“) eine wahre Aussage ist, kann man nicht darauf schließen, dass aus einer Verneinung der Bedingung (Antezedenz) auch eine Verneinung der Folge (Konsequenz) folgt. In diesem Beispiel: die Straße kann auch aus anderen Gründen nass werden, z.B. weil jemand sein Auto wäscht oder wegen einer Überschwemmung, o.ä.

Erklärung

Dieser Fehlschluss entsteht durch fehlerhafte Anwendung des Modus tollens, insbesondere einer inkorrekten Vermischung mit dem Modus ponens.

Zum Vergleich werden in der folgenden Tabelle die beiden gültigen Schlussformen dem Fehlschluss gegenüber gestellt:

Modus ponens
(gültiger Schluss)
Modus tollens
(gültiger Schluss)
Negation der Antezedenz
(Fehlschluss)
Prämisse 1 A → B A → B A → B
Prämisse 2 A ⌐B ⌐A
Konklusion B ⌐A ⌐B

Woher kommt der Name?

In einer logischen Aussage der Form „wenn A dann B“ (A → B) bezeichnen wir A als Antezedenz (bzw. Bedingung) und B als Konsequenz oder Folge.

Im Namen wird darauf hingewiesen, dass im Gegensatz zum (gültigen) Modus tollens nicht die Konsequenz sondern die Antezedenzaussage negiert wird, was zu einem ungültigen Schluss führt.

Andere Namen

  • Inversionsfehler

Wann sind solche Schlüsse gültig?

Es gibt bestimmte Umstände, unter denen die Negation der Antezedenz ein gültiger Schluss sein kann:

1. Tautologische Aussagen

Wenn Antezedenz und Konsequenz identisch sind, ist diese Art von Schluss offensichtlich jederzeit möglich (z.B. „Wenn es regnet, regnet es“ → „Wenn es nicht regnet, regnet es nicht“). In diesem Fall ist der Schluss formell identisch zum Modus tollens oder kann zumindest zu diesem umgeformt werden.

Dasselbe gilt auch für Aussagen, bei denen die Tautologie nur indirekt besteht, etwa durch die Definitionen der verwendeten Begriffe; Solche Aussagen gibt es v.a. in der Mathematik – z.B. aus „wenn eine Zahl durch 2 teilbar ist, ist sie gerade“ lässt sich ableiten, dass „wenn eine Zahl nicht gerade ist, ist sie nicht durch 2 teilbar“, da „gerade“ und „durch 2 teilbar“ per Definition synonym verwendbar sind.

Tautologien können in Aussagen mitunter recht gut versteckt sein, wie das folgende Beispiel zeigt:

Wenn heute Montag ist, ist übermorgen Mittwoch.
Übermorgen ist nicht Mittwoch,
heute ist nicht Montag.

Man kann „Mittwoch“ definieren als „der Tag nach Dienstag“ und diesen wiederum als den „Tag nach Montag“. Damit liegt der Mittwoch per Definition „zwei Tage nach Montag“. Damit ist die erste Prämisse tautologisch und der Schlussist gültig.

2. Leere Komplementärmenge

Auch unabhängig von einer echten Tautologie können A und B identische Gruppen beschreiben. In der Mengenlehre lässt sich dies so beschreiben, dass gilt:

𝔸 ≔ A(𝑥)
𝔹 ≔ B(𝑥)
𝔸 ∖ 𝔹 = ∅

Da in diesem Fall 𝔸 und 𝔹 identische Mengen bezeichnen, kann man aus “wenn A dann B” auch schließen, dass “wenn nicht B dann nicht A”.

Siehe auch

Weitere Informationen

logik/fehlschluesse/negation_der_antezedenz.txt · Zuletzt geändert: 2018/05/01 11:42 von Sascha